[предыдущая тема] [оглавление] [следующая тема]


 

14. Нахождение кратчайших путей в графе.

 

- нагруженный граф

- вес дуги

- длина пути

- кратчайший путь

- транзитивное замыкание

 


 

В этом параграфе рассматриваются ориентированные графы G(X, E) каждой дуге eÎE которого ставится в соответствие вещественное число l(e). Т.е. на множестве Е создана функция l:E®R. Такой граф принято называть нагруженным. Само число l называется весом дуги.

Можно увидеть аналогию между, например, картой автомобильных или железных дорог. Тогда множество вершин Х будет соответствовать городам, множество дуг – магистралям, соединяющим города, а веса – расстояниям. (На практике, при этом, фактически получится неориентированный граф).

В связи с изложенной аналогией будем называть веса дуг расстояниями.

Определение 1. Пусть имеется последовательность вершин x0, x1, …, xn, которая определяет путь в нагруженном графе G(X, E); тогда длина этого пути определяется как .

Естественный интерес представляет нахождение кратчайшего пути между двумя заданными вершинами x и y.

Алгоритм Форда отыскания кратчайшего пути.

Будем предполагать, что все расстояния в графе положительны. (Если это не так, то ко всем весам можно всегда добавить такую константу, что все эти веса станут положительными).

Пусть мы ищем путь от вершины x0 к вершине xn. Будем каждой вершине xi ставить в соответствие некоторое число li по следующим правилам.

1° Положим l0= 0, li = ¥ (достаточно большое число) для "i > 0.

2° Ищем в графе дугу (xi, xj) удовлетворяющую следующему условию

lj - li > l(xi, xj),                                          (9.1)

после чего заменяем lj на

                                                      .

Пункт 2° повторяется до тех пор, пока невозможно будет найти дугу, удовлетворяющую условию (1). Обоснуем этот алгоритм и укажем как определяется кратчайший путь.

Отметим, что ln монотонно уменьшается, то после завершения алгоритма найдется дуга , такая, что  для которой последний раз уменьшалось ln. (Иначе вообще нет пути между x0 и xn или для  верно (1)).

По этой же самой причине найдется вершина , такая , что

                                                  ,

этот процесс может продолжаться и дальше, так что получится строго убыва­ю­щая последовательность  . Отсюда следует, что при некото­ром k мы получим .

Покажем, что  – минимальный путь с длиной ln, т.е. длина любого другого пути между x0 и xn не превышает kn.

Возьмем произвольный путь   и рассмотрим его длину .

После завершения алгоритма имеем следующие соотношения

                                                 

Сложив все эти неравенства, получим

                                           ,

что и требовалось доказать.

Рассмотрим пример.

а                                                                         б

Рис. 10.1

На рис. 10.1а изображен исходный помеченный граф и начальные значения li. На рис. 10.1,б для того же графа указаны конечные значения li и выделен кратчайший путь. Пометка вершин графа происходила в следующем порядке (в скобках указана дуга, вдоль которой выполняется (1)):

l1 = 6        (x0, x1),

l2 = 7        (x0, x2),

l3 = 6        (x0, x3),

l4 = 12      (x1, x3),

l4 = 11      (x2, x4),

l5 = 16      (x3, x4),

l5 = 15      (x4, x5),

l6 = 18      (x4, x6),

l6 = 17      (x5, x6).

Иногда возникает задача отыскания кратчайших расстояний между всеми парами вершин. Одним из способов решения этой задачи является

Алгоритм Флойда

Обозначим lij длину дуги (xi, xj), если таковой не существует примем lij = ¥, кроме того, положим lii = 0. Обозначим  длину кратчайшего из путей из xi  в xj с промежуточными вершинами из множества {x1, …, xm}. Тогда можно получить следующие уравнения

                                                                       ,                                                                   (9.2)

 

                                                                       .                                                                   (9.3)

 

Уравнение (9.2) очевидно. Обоснуем уравнение (9.3). Рассмотрим кратчай­ший путь из xi в xj с промежуточными вершинами из множества {x1, …, xm, xm+1}. Если этот путь не содержит xm+1, то . Если же он содержит xm+1, то  деля путь на отрезки от xi до xm+1 и от xm+1 до xj, получаем равенство .

Уравнения (9.2) и (9.3) позволяют легко вычислить матрицу расстояний [dij] между всеми парами вершин графа G(X, E). На первом этапе согласно (9.2) составляем n´n матрицу  равную матрице [lij]  весов ребер (n – число вершин G(X, E)). n раз производим вычисление по итерационной формуле (9.3), после чего имеем  – матрицу расстояний.

Отметим, что алгоритм Флойда непосредственно не указывает сам кратчайший путь между вершинами, а только его длину. Алгоритм Флойда можно модифицировать таким образом, чтобы можно было находить и сами пути. Для этого получим вспомогательную матрицу [Rij], которая будет содержать наибольший номер вершины некоторого кратчайшего пути из xi в xj (Rij=0, если этот путь не содержит промежуточных вершин).

Эта матрица вычисляется параллельно с  по следующим правилам

Последнее выражение следует из обоснования (9.3).

Теперь кратчайший путь выписывается из следующего рекурсивного алгоритма:

Кратчайший путь из xi в xj:

1°. Если    Rij = 0            то выполнить 2°,

иначе выполнить 3°.

2°. Если       i=j   то выписать xi и закончить,

иначе выписать xi и xj закончить.

3°. Выписать кратчайший путь между xi и .

4°. Выписать кратчайший путь между  и xj.

Пункты 3° и 4° предполагают рекурсивное обращение к рассмотренному алгоритму.

С задачей определения кратчайших путей в графе тесно связана задача транзитивного замыкания бинарного отношения.

Напомним, что бинарным отношением на множестве Х называется произвольное подмножество E Ì X ´ X.

Транзитивным называется отношение, удовлетворяющее следующему условию: если  (x, y) Î E и  (y, z) Î E, то (x, z) Î E для всех   x, y, z Î X. Отметим, что бинарное отношение можно однозначно представить орграфом G(X, E). Теперь для произвольного отношения Е определим новое отношение Е* следующим образом

E* = {(x, y) | если в G(X, E) существует путь ненулевой длины из x в y}.

Легко проверить, что Е* - транзитивное отношение. Кроме того, Е* является наименьшим транзитивным отношением на Х в том смысле, что для произвольного транзитивного отношения F É E выполняется E* É F. Отно­ше­ние Е* называется транзитивным замыканием отношения Е.

Если отношение Е представить в виде графа G(X, E) в котором каждая дуга имеет вес 1, то транзитивное замыкание Е* можно вычислить с помощью алгоритма Флойда. При этом надо учесть, что

                                                (xi, xj) Î E* если .

Для большего удобства алгоритм Флойда в этом случае можно моди­фи­ци­ровать следующим образом.

Положим

                                                .

Вместо (9.3) запишем

                                            ,

где              Ú – дизъюнкция (логическое сложение),

Ù – конъюнкция (логическое умножение).

После завершения работы алгоритма будем иметь

Модифицированный таким образом алгоритм называется алгоритмом Уоршелла.

 


[предыдущая тема] [оглавление] [следующая тема]